Der Basis, Säit a voll: Wéi der Géigend vun enger Pyramid ze berechnen?

An Virbereedung fir den Examen an Mathematik Studenten hunn d'Wëssen vun Algebra an Geometrie zu systematize. Ech géif gären all bekannt Informatiounen ze kombinéieren, wéi wéi der Géigend vun enger Pyramid ze berechnen. Desweideren, vun ënnen an Säit ab Gesiichter bis déi ganz Fläch. Wann der Säit Gesiichter der Situatioun kloer ass, nodeems se triangles sinn, ass d'Basis ëmmer verschidden.

Wéi wann der Géigend vun der Basis vun der Pyramid gin?

Et kann relativ all Figur aus eng arbiträr Dräieck un der N-gon ginn. An dëser Basis, ausser d'Differenz zu der Zuel vun den Engelen, vläicht richteg oder falsch Figur ginn. Am Interessi vun de Studenten Aufgaben op d'Examen nëmmen Aarbechtsplaze mat déi richteg Zuelen an der Basis fonnt. Dofir wäerte mir nëmmen iwwer hinne schwätzen.

equilateral Dräieck

Dat ass equilateral. Een, datt all Parteien si gläich a sinn duerch de Bréif "e" designéierte. An dësem Fall, ass d'Basis Beräich vun der Pyramid vun der Formel berechent:

S = (eng ² * √3) / 4.

Feld

D'Formel fir Berechent hiren Deel ass der einfach, ass "eng" - Säit ass erëm:

An S = ^2.

Arbiträr regelméisseg n-gon

Op der Säit vun der polygon déi selwecht Bezeechnung. Fir d'Zuel vun Engelen benotzt Latäin Bréif n.

S = (n * engem ²⁾ / (4 * TG (180º / n)) .

Wéi an der Berechnung vun der Géigend vun der saitlech an voll Uewerfläch bis gitt?

Zanter der Basis Figur richteg ass, dann all d'Gesiichter vun der Pyramid sinn gläich. All vun deem ass e isosceles Dräieck, well d'Säit Bord gläichberechtegt sinn. Dann, fir de Beräich vun enger Säit vun der Pyramid brauchen Formule vun der Zomm vun monomials aus sëlwecht Berechent. D'Zuel vun de Begrëffer ass vun der Quantitéit vun der Basis Säiten alles.

Der Géigend vun engem isosceles Dräieck ass vun der Formel an déi Halschent vun der Basis Produit berechnen ass vun der Héicht doubelt. Dëst Héicht vun der Pyramid genannt apothem. Seng Bezeechnung - "A". D'allgemeng Formel fir d'Gebitt vun der saitlech Uewerfläch ass wéi follegt:

S = ½ P * A, wou P - kreesfërmeg vun der Basis vun der Pyramid.

Et ginn Zäiten, wou ass et net un der Basis Säit bekannt, mä d'Säit Bord sinn (e) flaach an de Wénkel op der Giewelspëtz (α). Da brauch et folgend Formule benotzen déi saitlech Beräich vun der Pyramid ze berechnen:

S = n / 2 op ² * Sënn α.

Aufgab № 1

Zoustand. Op ee Bléck ganzen Deel vun der Pyramid, wann hir Basis ass eng equilateral Dräieck mat enger Säit vun 4 cm an huet de Wäert √3 apothem cm.

Decisioun. Et soll mat der Berechnung vun der Basis kreesfërmeg ufänken. Well dat ass eng regulär Dräieck, da P = 3 * 4 = 12 cm apothem Wéi bekannt ass, kann een direkt am Beräich vun der ganzer saitlech Uewerfläch Berechent :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Fir d'Basis Dräieck kréien ass de Wäert vun der Géigend (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Fir de ganze Beräich bestëmmen brauchen déi zwee schéine Wäerter ze Weeër: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Mir Äntwert. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Zoustand. Et ass eng regulär quadrangular Pyramid. D'Längt vun der Basis ass gläich ze 7 mm, der saitlech Wäitschoss - 16 mm. Dir braucht seng Surface ze wëssen.

Decisioun. Zanter der polyhedron - véiereckege a richteg, bei hirer Basis ass e Metercarré. Héieren huel Beräich an saitlech Säiten kënnen d'Feld Pyramid ze zielen. D'Formel fir d'Feld ass uewen kritt. An ech weess all Säit Gesiichter vun der Dräieck. Dofir, kënnt Dir Heron d'Formel benotze fir hir Beräicher oofhalen.

Déi éischt Bunnbestëmmungen sinn einfach an Virsprong op dëser Nummer: 49 mm ^2. Fir déi zweet Wäert Berechent brauchen semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Elo kënne mir der Géigend vun engem isosceles Dräieck Berechent: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Et gi véier triangles, also wann der Finale Zuelen oofhalen braucht vun 4 Raum ze gin.

Kritt: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Äntwert. 267,576 gewënschte Wäert vun ² mm.

Aufgab № 3

Zoustand. Um normale quadrangular Pyramid ass néideg der Géigend ze berechnen. Et ass Ofwiersäit vun de Metercarré bekannt - 6 cm an Héicht - 4 cm.

Decisioun. Am einfachsten der Formel fir de Produit vun der kreesfërmeg an apothem konzentréiert. Den éischte Präis ass einfach fonnt. Déi zweet e bësse méi haart.

Mir der Pythagorean dësen ze erënneren hunn an als e Recht Dräieck. Et ass vun der Héicht vun der Pyramid an apothem gemaach, wat de hypotenuse ass. Déi zweet Been ass Halschent der Säit vun der Plaz, als polyhedron Héicht am géignereschen et falen.

Botwinnik apothem (de hypotenuse vun engem Recht Dräieck) ass gläich ze √ (Mäerz ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Elo ass et méiglech déi gewënscht Wäert ze berechnen: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 ( cm ^2).

Mir Äntwert. 96 cm ^2.

Problem № 4

Zoustand. Dana regelméisseg sechseckegen Pyramid. De Säiten vu senger Basis gläichberechtegt zu 22 mm, der saitlech Bord - 61 mm. Wat ass de Beräich vun der saitlech Uewerfläch vun dëser polyhedron?

Decisioun. D'dofir wier an et sinn déi selwecht wéi an der Aufgab №2 beschriwwen. Nëmmen huet sech d'Pyramid do un der Platz um Basis kritt, an elo ass et eng hexagon.

Déi éischt Etapp ass déi vun der Basis Beräich vun der uewen Formule ^{(6 * 22 2) / (berechent} 4 * TG (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Elo muss Dir Broscht kreesfërmeg vun engem isosceles Dräieck ze fannen, déi eng Säit Gesiicht ass. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 bleift op Heron d'Formule der Géigend vun jidderengen vun den Dräieck ze berechnen, an se dann duerch sechs Weeër ëmmer méi intensivéiert an der eent dat op d'Basis war eraus.

Berechnungen op Heron d'Formule: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. De Berechnungen datt saitlech Surface wäert bidden: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Et bleift hinnen ze sëtzen an déi ganz Fläch ze fannen eraus: 5217,47≈5217 cm ^2.

Mir Äntwert. Terrain - 726√3 cm ^2, der Säit Uewerfläch - 3960 cm ^2, de ganze Beräich - 5217 cm ^2.