Matematichesky Pendel Period Beschleunegung an Formel

Déi mechanesch System, dass vun engem Material Punkt besteet (Kierper), deen op engem weightless inextensible Filament hänkt (seng Mass ass negligible Verglach zu der Gewiicht vum Kierper) an eng eenheetlech gravitativer Terrain, genannt de mathematesch Pendel (aneren Numm - de Oszilléierer). Et ginn aner Zorte vun Apparater. Amplaz vun engem Filament weightless Staang ka benotzt ginn. Pendel kann kloer d'Essenz vun villen interessante Phenomener opzeweisen. Wann klengen Amplituden Schwéngungen vu senger Motioun ass Museksschoule genannt.

Allgemeng Informatiounen iwwert d'mechanesch System

D'Formel vun der Schwéngunge Period vun der Pendel war hollännesche Wëssenschaftler Huygens (1629-1695 GG.) Flegelhaft. Dës modern vum Isaac Newton war ganz Fond vun der mechanesch System. Am Joer 1656 hunn hien déi éischt souguer mat engem Pendel Mechanismus. Si gemooss der Zäit mat extrem Präzisioun fir déi Zäiten. Dës Erfindung war e grousse Schrëtt an der Entwécklung vun kierperlech Experimenter a praktesch Aktivitéiten.

Wann de Pendel an engem Gläichgewiicht Positioun (roofhänken vertikal) ass, d' Kraaft vun Gravitatioun gëtt vum Da muss een Spannungen Kraaft equilibréiert ginn. Flaach Pendel op engem Net-stretchable yarns ass e System mat zwee Grad vun der Fräiheet vun der Kommunikatioun. Wann Zaïtgeescht just ee Volet der Charakteristiken vun all sengen Deeler vun änneren. Zum Beispill, wann ee Fuedem duerch eng Staang ersat ass, da dëst mechanesch System ass nëmmen 1 Ofschloss vun der Fräiheet. Wat, dann,? D'Eegeschafte vun engem Pendel mathematesch An deem einfache System, ënnert dem Afloss vun engem periodesch perturbation, schéngt Chaos. An dat de Fall, wann d'Ophiewe Punkt net drun ass, a Mëschung engem Pendel et ass eng nei Gläichgewiicht Positioun. Wann rapid variabel an Ugrëff iwwer dëst mechanesch System gëtt stabil Positioun "Kéier gehäit." Et huet och säin Numm. Et ass der Kapitza Pendel genannt.

D'Eegeschafte vun de Pendel

Pendel huet ganz interessant Eegeschafte. All vun hinnen sinn duerch gutt-bekannt physikalesch Gesetzer ënnerstëtzt. D'Period vu Schwéngunge vun der Pendel soss hänkt verschidde Ëmstänn wéi der Gréisst a Form vun de Kierper, d'Distanz tëscht dem Punkt vun Ophiewe an den Zentrum vun Gravitatioun, Gewiicht Verdeelung mat Respekt un dësem Punkt. Dowéinst der Definitioun vum Kierper roofhänken Period zimlech Erausfuerderung ass. Ass vill méi einfach der Period vun engem einfachen Pendel ze berechnen, déi Formule vun deem hei ënnendrënner ginn ass. Als Resultat dës Mustere vun Observatioun kann op ähnlechen mechanesch Systemer ageriicht ginn:

• Wann, iwwerdeems déi selwecht Längt vun der Pendel ënnerhalen, aus enger Rei vu Saachen gedroen gespaart, der Zäit vun de Schwéngunge déi selwecht kréien, obwuel hir Gewiicht staark variéieren gëtt. Doduercher, heescht der Period vun der Pendel net op d'Gewiicht vun der opbauen hänkt.

• Wann de System vun de Pendel ze Ënnergang fänkt ass net ze grouss, mä verschidde Engelen, ass et mat der selwechter Period fluctuate, mä bei verschiddene Amplituden. Iwwerdeems Hitparad vun den Zentrum vun Gläichgewiicht net ze grouss variabel hir Form ass gëtt enk genuch Museksschoule ginn. Der Period vun esou engem Pendel hänkt net op der vibrational Amplituden. Dëse Besëtz vun der mechanesch System ass isochronism (op Griichesch "chronos" - Zäit "Izosov" - selwecht) genannt.

Der Period vun engem einfachen Pendel

Dës Figur stellt de natierleche Period vun Schwéngunge. Trotz der komplex Formuléierung, de Prozess selwer ass ganz einfach. Wann der Längt vun der Da muss een mathematesch Pendel L, an der gravitativer Beschleunegung g, dëse Wäert ass gläich:

T = 2π√L / g

Kleng Period vun natierleche Schwéngunge an nimools hänkt net op d'Mass vun de Pendel an d'Schwéngunge Amplituden. An dësem Fall, wéi eng mathematesch Pendel dëser Aktioun mat reduzéierter Längt.

Schwéngunge vun engem Pendel mathematesch

Mathematesch Pendel Mëschung, déi vun engem einfachen differentiell Equatioun beschriwwe ginn:

x + ω2 Sënn x = 0,

wou x (t) - onbekannt Funktioun (dësem Wénkel vun bewonneren aus dem ënneschten Positioun vun Gläichgewiicht an der Zäit net, ausgedréckt an radians); ω - eng positiv konstante déi aus dem Parameter vun der Pendel (ω = √g / L, wou g alles ass - d'Beschleunegung vun Gravitatioun, an L - d'Längt vun engem Pendel einfach (Ophiewe).

Equatioun klenge Schwéngunge bei Gläichgewiicht Positioun (Museksschoule Equatioun) wéi follegt:

x + ω2 Sënn x = 0

Oscillatory Mëttelpunkt vun der Pendel

Pendel, dee klenge Schwéngunge mécht, sinusoid bewegt. Zweet fir differentiell Equatioun entsprécht all Viraussetzunge a Parameteren vun esou engem herrlechen. Ze bestëmmen de Wee Dir d'Vitesse an Koordinaten ze Formatioun brauchen, déi méi spéit onofhängeg léisst sech:

x = A Sënn (θ ₀ + ωt),

wou θ ₀ - éischter Phase, A - Amplituden vun Schwéngunge, ω - cyclic Frequenz aus dem Equatioune vum Newton alles.

Pendel (Formule fir grouss Amplituden)

Dëst mechanesch System, Leeschtunge hir Schwéngunge mat enger grousser Amplituden, ass et zu méi komplex Verkéier Gesetzer Sujet. si no der Formel berechent fir esou engem Pendel:

Sënn x / 2 = U * SN (ωt / U),

wou SN - sine Jacobi, déi fir U <1 ass eng periodesch Funktioun, an fir kleng U gläichzäiteg et mat deem Einfachen trigonometric sine. De Wäert vun U ass vun de folgende Ausdrock sech:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

wou ε = E / mL2 (mL2 - Energie vun der Pendel).

Determinatioun vun nonlinear Schwéngunge Period vun de Pendel vun den folgenden Formule:

T = 2π / Ω,

wou Ω = π / 2 * ω / 2K (U), K - elliptic integral, π - 3,14.

de Pendel Bewegung vun der separatrix

Et genannt separatrix trajectory vun der dynamesch System, an deem eng zwee-zweedimensional Phase Plaz. Pendel Kombinatiounen op engem Net-periodesch. Am onendlech wäit Punkt vun Zäit Drëpsen et aus der ieweschter extrem Positioun Richtung engem null Vitesse, an dann ass et lues a lues eraus. Hien opgehalen schlussendlech, fir Originalgréisst Positioun zréckgoen.

Wann der Amplituden vu Schwéngunge vun der Pendel der Zuel PI Approche, ass et gesot, datt d'Motioun an der Phase Fliger op de separatrix enk ass. An dësem Fall, geet ënnert der Aktioun vun engem klenge periodesch dreiwend Kraaft vun der mechanesch System Unificatioun gelooss.

Am Fall vun engem einfachen Pendel aus dem Gläichgewiicht Positioun mat engem Wénkel CP existeiert tangential Kraaft Fτ = -mg Sënn φ Gravitatioun. "Minus" Zeechen heescht dass d'tangential Komponent am Géigendeel Richtung aus der Richtung deviation vun der Pendel ënner. Wann via Pendel Verleeen Referenz x laanscht eng kreesfërmeg Arc mat engem Radius L ass gläich fir seng dréiende Verleeen φ = x / L. Déi zweet Gesetz Isaaka Nyutona, entworf fir Projektioun vun der Beschleunegung Vecteure a Kraaft der gewënschter Wäert ginn:

MG τ = Fτ = -mg Sënn x / L

Baséiert op deem Verhältnis, ass et kloer, datt de Pendel engem nonlinear System ass, wéi eng Kraaft, déi zu hir Gläichgewiicht Positioun fir zréck trëtt, ass un der Verleeen x net ëmmer proportional, e Sënn x / L.

Nëmmen wann d'mathematesch Pendel kleng Schwéngungen stécht, ass et engem Harmoneschen Oszilléierer. An anere Wierder, gëtt et e System mechanesch kapabel vun leeschtungsfäheg Museksschoule Schwéngunge. Dës Upassung ass valabel fir bal Heffernan 15-20 °. Pendel mat grousse Amplituden ass net harmonesch.

Newton d'Gesetz fir klenge Schwéngunge vun engem Pendel

Wann de mechanesche System klenge Schwéngunge stécht, gëtt 2. Newton d'Gesetz esou kucken:

MG τ = Fτ = M * g / L * x.

Op dëser Basis, kënne mir, datt d'tangential Beschleunegung vun engem einfachen Pendel Ofschloss ze seng Verleeen mat dem Zeechen "Minus" proportional ass. Dëst ass eng Konditioun woubäi de System engem Harmoneschen Oszilléierer gëtt. Modul Proportionalitéit Faktor tëscht dem Verleeen an der Beschleunegung fusionnéiert d'Feld vun der dréiende Frequenz:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Dës Formel spigelt déi natierlech Frequenz vu klenge Schwéngunge vun dëser Zort vun Pendel. Op dëser Basis,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Berechnungen baséiert op dem Gesetz vun Conservatioun vun der Energie

Eegeschafte Pendel Bewegungen oscillating ka mat der Hëllef vun der Gesetz vum Conservatioun vun der Energie beschriwwe ginn. Et soll am Kapp dréit ginn, datt d'potentiell Energie vun de Pendel an engem gravitativ Terrain ass:

E = mgΔh = mgL (1 - Cos α) = mgL2sin2 α / 2

Voll mechanesch Energie fusionnéiert der kinetescher a maximal Potential: Epmax = Ekmsx = E

Nodeems Dir d'Gesetz vum Conservatioun vun der Energie hu geschriwwen, d'ADR vun der lénks an riets Säit vun der Equatioun huelen:

EP + Ek = const

Zanter der ADR vun der léisst gläich 0 ass, dann (EP + Ek) "= 0 D'ADR vun der Zomm fusionnéiert der Zomm vun der dësem Projet:

EP "= (MG / L * x2 / 2)" = MG / 2L * 2x * x "= MG / L * V + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (V2) "= m / 2 * 2v * V "= anzegoen * α,

dofir:

MG / L * XV + MVA = V (MG / L * x + m α) = 0.

Baséiert op de leschten Formule, mir fannen: α = - g / L * x.

Praktesch Uwendung vun der mathematesch Pendel

Beschleunegung vun gratis falen individuell mat Breet, well d'Dicht vum Planéit ëm de Planéit net identesch. Wou Fielsen mat enger héijer Dicht geschéien, ass et bësse méi héich ginn. Beschleunegung vun mathematesch Pendel ass oft fir Weltraum benotzt. An hirer Hëllef sichen fir verschidden Mineralstoffer. Einfach d'Zuel vun de Schwéngunge vun engem Pendel Zielen, ass et méiglech de Kuelen- oder Äerz am bowels vun der Äerd ze entdecken. Dat ass wéinst der Tatsaach, datt dës Ressourcen hunn eng Dicht a Gewiicht vu méi wéi ënnert der loose Fielsen doruechter.

Mathematesch Pendel vun esou groussaarteg Geléiert als Sokrates- benotzt, Aristoteles, Platon, Aen, Archimedes. Vill vun hinne gegleeft, datt de mechanesche System vum Schicksal a Liewen Afloss kann. Archimedes benotzt d'mathematesch Pendel mat senge Berechnungen. Haut, benotze vill occultists an Rätsel vum Deep dëser mechanesch System fir d'Ëmsetzung vun hirer sinn.`, oder d'Sich no Leit vermësst.

Déi bekannten franséischen Astronom a Wëssenschaftler, Flammarion fir hir Fuerschung benotzt och eng mathematesch Pendel. Hien hat dat mat sengem hëllefen hie konnt sech d'Entdeckung vun engem neie Planéit ze soe, d'Entstoe vun der Tunguska Meteoritteschutz, an aner wichteg Evenementer. Während dem Zweete Weltkrich an Däitschland (Berlin) geschafft als spezialiséiert Institut vun der Pendel. Haut, ass esou Fuerschung net sinn München Institut vun Parapsychology. Seng Aarbecht mat de Pendel d'Personal vun dëser Institutioun genannt "radiesteziey".