Fourier Verännerung. Fast Fourier Verännerung. Diskret Fourier Verännerung

Fourier Transformatioun - Transformatioun, e bestëmmte Funktioun vun engem real Variabel associating. Dës Operatioun ass all Zäit mir verschidde Kläng zréckkommen gesuergt. Ouer produzéiert automatesch "Berechnung", wat eist Bewosstsinn erfëllen kann nëmmen no der Ënnersichung vun der Rubrik vun héich Mathematik. Uergel an engem Mënsch Transformatioun héieren gesond, an deem den Sound (konventionell vibrational Mëttelpunkt vun Deelchen an engem elastesche mëttelfristeg, déi am Schwéngung Form am staark, flësseg oder Gas mëttel- verierwe) ass an enger Rei vu hannereneen Wäerter vun der Volumen Niveau vun Téin vun variabelen uewen gëtt. No deem, dréit d'Gehir d'Informatiounen an all kennt Toun.

Mathematesch Fourier Verännerung

Konversioun vun Toun Wellen oder aner eben Prozesser (duerch Liicht Emissiounsniwwelen an Ozean d`Paess an stellar oder Sonn Kreeslafwirtschaft) gesuergt a vun heescht vun mathematesch Methode kann. Also, dës Technik benotzt, kann d'Funktiounen vun Aféiere vibrational Prozesser vun sinusfërmege Komponente Formatioun erweidert ginn, i.e. gewellt Kéieren déi zu engem Maximum vu mindestens goen an dann erëm zu engem Mindestloun, wéi d'Schwéngung vun der Mier. Fourier Transformatioun - Transformatioun Funktioun déi Phase oder Amplituden vun all sinusoid beschreift op eng besonnesch Frequenz entspriechend. Phas ass e Startpunkt vun der Kéier, an der Amplituden - vun hirer Héicht.

Fourier Verännerung (Beispiller sinn an der photo gewisen) ass eng ganz mächteg Instrument, wat an verschiddenen Beräicher vun der Wëssenschaft benotzt gëtt. An e puer Fäll ass et als Léisung zimlech komplex Equatioune benotzt déi dynamesch Prozesser beschreiwen ënnert dem Afloss vu Liicht, Hëtzt oder elektresch Energie geschitt. An anere Fäll, et erlaabt Iech regelméisseg Komponente vun komplex waveforms ze definéieren, wéinst dëser richteg ka verschidde experimentell Observatioune vun Chimie, Medezin an Astronomie ze virzegoen.

historeschen Informatiounen

Déi éischt Persoun dës Method ze gëllen huet de franséische Mathematiker Wan Batist Fure. Konversioun, dono no him genannt, war ursprénglech benotzt der Hëtzt conduction Mechanismus ze beschreiwen. Fourier sengem ganze Liewe erwuessener an ënnersicht d'Eegeschafte vun der Hëtzt engagéiert. Hien huet eng enorm Bäitrag zu der mathematesch Theorie vun der Determinatioun vun de Wuerzelen vun glécklech Equatioune. Fourier Professer vun Analyse an der Ecole polytechnique, de Generalsekretär vun der Institut vun Egyptology war, huet sech d'keeserlech Service, deen e bëssen erofsetzen an der Zäit vum Bau vun der Strooss op Turin ëmmer (ënner senger Leedung gouf vu méi wéi 80 dausend Feld Kilometer vun malarial Mangrovesuppen Headbanging Schold). Mä all dës suahelesch stoppen rauszesichen der am mathematesch Analyse engagéiert Wëssenschaftler. Am Joer 1802 war et eng Equatioun ofgeleet, datt zoudem Verbreedung vun Hëtzt an amuletum beschreift. An 1807, entdeckt Wëssenschaftler eng Method fir dës Equatioun léisen, déi als "Fourier Verännerung" bekannt gouf.

thermesch Leit Analyse

Fuerscher benotzt eng mathematesch Method der Hëtzt conduction Mechanismus ze beschreiwen. A praktesch Beispill soziokulturellem keng Schwieregkeet Berechnung zoudem Verbreedung vun thermesch Energie duerch eng Eisen Rank ass, een Deel vun engem Feier Beweegung. Ze üben Experimenter Fourier rout waarm Deel vum Ring a begruewen him am labber Sand. Ausgezeechent, duerchgefouert der Temperatur Miessunge zielt op de Géigendeel Deel eraus. Ufank, ass d'Hëtzt Verdeelung onregelméissegen: Deel vun der Ring - kal, an déi aner - waarm, tëscht dem Zonen kënnen e spatzen Temperaturgefäll fest. Mä während der Hëtzt Verdeelung ganze Metal Uewerfläch, gëtt et méi eenheetlech. Also geschwënn, hëlt dëse Prozess d'Form vun engem sine Deel. Éischt Offlaachung méi lues an och Verloschter ofgefaangen, wourop d'Gesetzer vun Variant vun der cosine oder sine Funktioun. Wave no komm an als Resultat d'Temperatur gëtt eenheetlech op déi ganz Fläch vun der Rank.

Den Auteur vun dëser Method ugeholl datt d'initial Verdeelung ganz onregelméisseg ass kann an eng Rei vun Elementar- sine Wellen ofgebaut kënne ginn. Jiddereng vun hinnen muss seng Phase (éischter Positioun) a seng maximal Temperatur. Also all esou Komponent Ännerungen aus engem Minimum un engem Maximum an zréck bis komplett Revolutioun ëm de Rank ganz mol. Komponent enger Period mussen déi fundamental Museksschoule, an de Wäert mat zwou oder méi Perioden genannt gouf - déi zweet an sou op. Zum Beispill, eng mathematesch Funktioun, datt déi maximal Temperatur beschreift, genannt de Phase oder Positioun der Fourier vun der Verdeelung Funktioun Verännerung. Wëssenschaftler hunn eng eenzeg Komponent datt zu mathematesch Beschreiwung, fir einfach-ze-benotzen Handwierksgeschir schwiereg ass - Zeile vun sine a cosine, an de Montant vun Schoss dem initialen Verdeelung.

D'Essenz vun der Analyse

Kandidatur dëser Analyse op d'Konversioun vun Hëtzt Verdeelung op de staark Objet, eng annular Form mussen, opgebauten engem Mathematiker datt waarden Perioden vun sinusfërmege Komponente fir seng rapid damping a Féierung gaangen. Dat ass däitlech op der Haaptrei an zweeter Harmonie gesinn. D'Finale Temperatur erreecht zweemol de Maximum a Minimum Wäerter an engem eenzege Passe, an an den éischten - nëmmen eemol. Et stellt sech eraus datt d'Distanz vun Hëtzt an der zweeter Museksschoule reesen ass, dass d'Halschent vun de Kär. Zousätzlech, ginn d'Temperaturgefäll vun der zweeter Halschent wäert och héijer wéi déi éischt. Dofir, well e méi intensiv thermesch FLUX Witfra minimal Distanz Passë, da gëtt dat séier Museksschoule véiermol ginn damped wéi den Haaptgrond, als Funktioun vun Zäit. An der folgender Prozess wäert och méi séier ginn. Mathematiker gegleeft, datt dës Method eis erlaabt de Prozess vun der éischter Verdeelung vun Temperatur mat Zäit ze berechnen.

Call Zäitgenosse

Fourier Verännerung Algorithmus huet an der Zäit eng Erausfuerderung fir d'theoretesch Fundamenter vun Mathematik ginn. Am fréie Joerhonnerten, méi bekannte Wëssenschaftler, Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre an Biot huet akzeptéieren net seng Affirmatioun dass d'Temperatur vun der éischter Verdeelung ass an der Form vun de fundamental Schwéngung an héich Frequenz an Komponente ofgebaut. Allerdéngs konnt d'Academy of Sciences ignoréieren net de Mathematiker kritt Resultater, an him de Präis fir d'Theorie vun Hëtzt conduction vun de Gesetzer ausgezeechent, wéi och seng Verglach mat kierperlech Experimenter Dirigent. Am Fourier Approche, ass den Haaptgrond Asproch der Tatsaach, datt eng erauskomm Funktioun vun enger Zomm vun e puer sinusfërmege Funktiounen vertrueden ass, déi kontinuéierlech sinn. No all, beschreiwen se der riicht an Baron Linnen Star. Zäitgenëssesch Wëssenschaftler haten ni esou eng Situatioun begéint, wann der erauskomm beschriwwen Funktiounen duerch eng Kombinatioun vun kontinuéierlech, wéi quadratic, linear, sine oder Forain. Am Fall, datt e Mathematiker a sengem Behaaptungen riets war, soll d'Zomm vun engem onendlech Serie vun trigonometric Funktiounen op de genau Vitesse limitéiert ginn. Wann esou eng Fuerderung war Manipulatioun. Mä trotz der Zweifel vu verschidde Fuerscher (zB Claude Navier, Sofi Zhermen) jorelaang de Kader vun der Recherche an huet hinnen aus der Analyse vun Hëtzt Verdeelung. A Mathematik, weider Tëschenzäit, der Fro vun bëssen ob eng Zomm vun e puer sinusfërmege Funktiounen op eng genee Duerstellung vun Star reduzéiert ass.

200-Joer Geschicht

Dës Theorie iwwer zwee Joerhonnerte Perséinlechkeeten huet, haut ass et endlech gemaach. Mat der Hëllef vun der raimlech oder verlässlecht Funktiounen sinn an sinusfërmege Deeler gebrach datt eng Frequenz, Phase an Amplituden hunn. Dëst Konversioun ass vun zwou verschiddene mathematesch Methode kritt. Déi éischt vun hinnen ass am Fall benotzt wann d'Quell eng kontinuéierlech Funktioun ass, an der zweeter - am Fall wou et vun engem Majorzsystem vun diskret eenzelne Verännerungen vertrueden ass. Wann den Ausdrock vu Wäerter kritt ass, wat bei diskret Intervalle definéiert sinn, kënnen se an e puer diskret sinusfërmege Ofstänn Ausstralung ënnerdeelt ginn - aus dem niddregsten an da verduebelt, tripled, an sou weider virun der fundamental. Dëse Betrag ass genannt der Fourier Serie. Wann der éischter Ausdrock de Wäert vun all richteg Zuel baut, kann et gebrach verwandelt an MÉI sinusfërmege all méiglech Ofstänn ginn. Et ass eng Fourier integral genannt, an d'Decisioun beinhalt enger Transformatioun vun der integral Funktioun. Egal vun der Method fir Transformatioun Maîtrise, fir all Frequenz weg sollen zwou Zuelen: Amplituden an Frequenz. Dës Wäerter sinn als eenzeg ausgedréckt komplex Zuel. Ausdrock komplex Verännerlechen Theorie zesumme mat Fourier Transformatioun Berechnungen ze Leeschtunge Nodeems den Design vun verschiddenen elektresch Kreesleef, d'Analyse vun mechanesch Schwéngungen, der Etude vun Schwéngung zoudem Mechanismus an aneren.

Fourier Verännerung haut

Haut, boils der Etude vun dësem Prozess Bartreng haaptsächlech ze fannen efficace Methoden fir den Iwwergank vum Funktioun erof bis et ze vergiessen geflunn zréck. Dës Léisung ass déi direkt an ëmgedréit, et gesäit Fourier Verännerung genannt. Wat heescht dat? Fir de integral bestëmmen a maachen engem direkten Fourier Verännerung, kënnt Dir mathematesch Methode benotzt, mä du kanns Drëttubidder. Trotz der Tatsaach, datt, wann se an der Praxis benotzt ginn et e puer Schwieregkeeten, hunn déi meescht integrals schonn am mathematesch handbooks fonnt koum. Mat der Hëllef vun z'identifizéieren Methode kann berechent Ausdrock ginn, der Form vun deem baséiert op der experimentell Date, eng Funktioun hir integrals am Dëscher sinn vermësst, a si schwéier an eng analytesch Form virzestellen.

Virun der Advent vun Computer Déifbau Berechnungen esou Fraen ganz tedious ginn hunn, verlaangen se manuell Ausféierung vun enger grousser Zuel vun Mathematik Operatiounen, datt op der Zuel vun de Punkten hänken, dass d'Schwéngung Funktioun beschreiwen. Ze vereinfachen haut de Siidlung, ginn et speziell Programmer, erlaabt ze nei Ëmsetzen analytesch Methoden. Sou, an 1965, Dzheyms Kuli an Dzhon Tyuki geschaf Software, déi als "Fast Fourier villen Europäer" gouf bekannt. Et spuert der Zäit vun der Berechnung vun der Zuel vun multiplications an der Analyse vun der Kéier reduzéieren. "Fast Fourier villen Europäer" D'Method baséiert der Kéier an enger grousser Zuel vun eenheetlech Prouf Wäerter op deelt. Anere Wierder, ass d'Zuel vun multiplications vun Halschent gläichzäiteg reduzéiert der Zuel vu Punkten reduzéieren.

Applikatioun vum Fourier Verännerung

Am: Dëse Prozess ass an verschiddenen Beräicher benotzt Zuel Theorie, Physik, Signal Veraarbechtung, combinatorics, Wahrscheinlechkeet Theorie, cryptography, Statistiken, oceanography, Optik, Akustik, an aner geometries. Räich Méiglechkeeten fir säi Gebrauch sinn op engem Zuel vun nëtzlech Funktiounen baséiert, déi genannt ginn "Eegeschafte vun der Fourier Transformatioun." Loosse mer se ënnersicht.

1. D'Konversioun Funktioun ass eng linear Bedreiwer an eng entspriechend normalization ass Zentralstaat. Dëse Besëtz ass wéi de Parseval dësen bekannt, oder am allgemengen Fall, dësen Plansherelja oder Pontrjagin dualism.

2. D'Konversioun ass Reversibelen. Ausserdeem, ass de Géigendeel Resultat méi ähnlech Form wéi am direkte adresséieren.

3. D'sinusfërmege Basis Ausstralung sinn hir eege ënnerscheet Funktiounen. Dat heescht, dass esou Representatioun Ännerungen linear Equatioune mat konstante Ech an engem konventionelle glécklech.

4. entspriechen den "convolution" dësen, mécht de Prozess eng komplex Operatioun zu Elementar- ëmmer méi.

5. diskret Fourier op engem Computer ginn villen Europäer kann mat der "schnell" Method séier entworf.

Variatiounen vun der Fourier Verännerung

1. meescht oft ass de Begrëff fir Akeef ze eng kontinuéierlech Transformatioun benotzt, all quadratically integrable Ausdrock wéi d'Zomm vun komplex exponential Ausdrock mat spezifesche dréiende Ofstänn an Amplituden suergt. Dëst Arten huet e puer verschidden Formen, déi verschidden konstante Ech kann. De kontinuéierlech Method ëmfaasst eng Ëmrechnungstabell, déi am mathematesch handbooks fonnt ginn. A generaliséiert Fall ass de fractional Konversioun, woubäi dëse Prozess kann de gewënschte real Muecht opgewuess sinn.

2. D'kontinuéierlech Method ass eng generalization vun virdrun Technik vun Serie Fourier definéiert fir all periodesch Funktiounen oder Ausdrock, deen an engem begrenzte Beräich existéieren an vertrieden se als Serie vun sinusoids.

3. diskret Fourier Verännerung. Dës Method ass am Rechenzäit fir wëssenschaftlech Berechnung an digitale Signal Veraarbechtung benotzt. Fir dës Zort vun Berechnung üben ass néideg eng Funktioun vun ze hunn eng diskret Formatioun vun eenzelne Punkten Bestëmmung op, periodesch oder limitéiert Regioun amplaz kontinuéierlech Fourier integrals. Signal Ëmbau an dësem Fall ass als Zomm vun sinusoids vertrueden. De Gebrauch vun "schnell" Method erlaabt de Gebrauch vun digitale Léisungen fir all praktesch Zwecker.

4. D'Fënster Fourier Verännerung ass eng generaliséiert Vue vun der klassesch Method. Géigesaz Standard Léisungen wann d'Signal Spektrum benotzt ginn ass, déi an der ganzer Palette vun Existenz vun dëser Variabel geholl gëtt, ass vun allem Interessi hei ass nëmmen d'lokal Frequenz Verdeelung während der Original Variabel Erhalen (Zäit).

5. Déi zwee-zweedimensional Fourier Verännerung. Dës Method ass benotzt mat zwee-zweedimensional flamenden Ofgrond vun Daten ze schaffen. An esou engem Fall ass den Ëmbau an eng Richtung gesuergt, an dann - an déi aner.

Konklusioun

Haut, ass d'Fourier Method onweigerlech an déi verschidde Beräicher vun der Wëssenschaft Agegruewen. Zum Beispill, an 1962 opgemaach et der Form vun der duebeler Wendel DNA benotzt Fourier Analyse an verzweifelt mat X-Ray akkurat. Rezent Kristaller sech op DNA Faseren, an engem Bild doraus déi vun akkurat kritt ass, op de Film opgeholl. Dëst Bild vum Informatiounen iwwert de Wäert vun der Amplituden mat der Fourier zu dëser Kristallsglas produzéiert Struktur Verännerung. Phase Donnéeë kritt vun der DNA akkurat Kaarte mat Kaarte d`Vergläiche datt an der Analyse vun ähnlech chemesch Struktur kritt sinn. Als Resultat, restauréiert biologists Kristallsglas produzéiert Struktur - déi original Funktioun.

Fourier Verännerung an der Etude vun baussenzegen Raum, der Physik vun semiconductor Material a Plasma, Schleck erëm Akustik, oceanography, Radar, seismology a medezinesch Examen eng grouss Roll spillen.