Equatioun vun der Fliger: Wéi schreift Dir? Typen vu Fliegergleichungen

De Fliger Raum kann a verschiddene Weeër (ee Punkt an Vecteure, de Vecteure an déi zwee Punkten, dräi Punkten, etc.) definéiert ginn. Et ass dëst mat vergiessen, kann de Fliger Equatioun verschidden Zorte hunn. Och ënner gewësse Konditiounen Fliger kënnt parallel gin, vertikal, intersecting, etc. Op dëser a wäert an dësem Artikel schwätzen. Mir wäerten léieren d'allgemeng Equatioun vum Fliger ze maachen an net nëmmen.

Déi normal Form vun der Equatioun

Ugeholl R ass d'Plaz _3, déi e véiereckege koordinéieren System XYZ huet. Mir definéieren engem Vecteure α, déi aus der Startpunkt verëffentlecht ginn O. Duerch d'Enn vun der Vecteure α Fliger P molen déi vertikal op ass.

Geleeënheet P op eng arbiträr Punkt Q = (x, y, Z). De Radius Vecteure vum Punkt Q Zeechen Bréif p. D'Längt vun der Vecteure fusionnéiert α p = IαI an Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Dësen Apparat Vecteure, déi an der Richtung wéi Vecteure α Direkter ass. α, β an γ - sinn Engelen, déi tëscht dem Vecteure an de positiven Richtungen Ʋ Raum Axen x, y, Z bzw. geformt sinn. D'Projektioun vun engem Punkt op Vecteure QεP Ʋ ass e konstante déi bis p (p, Ʋ) = P (r≥0) selwecht ass.

D'virun Equatioun ass sënnvoll wann p = 0. Déi eenzeg n Fliger an dësem Fall, géif Punkt O Kräiz (α = 0), déi d'Hierkonft, an Eenheet Vecteure Ʋ, vum Punkt O verëffentlecht wäert zu P vertikal sinn, obwuel hir Direktioun, dat heescht, datt de Vecteure Ʋ sech bis zu der Zeechen. Virdrun Equatioun ass eise Fliger P, ausgedréckt an Vecteure Form. Mee am Hibléck op seng Donneee ass:

P ass méi grouss wéi oder gläich ze 0 Mir der Fliger Equatioun zu normal Form fonnt hunn.

D'allgemeng Equatioun

Wann der Equatioun am Donneee vun all Zuel deenen Elteren, net gläich ze null ass, mir der Equatioun gläichwäerteg zu dëser kritt datt d'ganz Fliger definéiert. Et gëtt de folgende Formulaire hunn:

Hei, A, B, C - ass d'Zuel vun de gläichzäiteg anescht wéi null. Dës Equatioun ass d'Equatioun vum allgemenge Form vun de Fliger genannt.

Déi Equatioune vun der Fligeren. spezielle Fäll

Der Equatioun kann allgemeng mat zousätzlech Konditioune geännert ginn. Betruecht vun hinnen e puer.

Dovun ausgoen, dass de souguer gemaach A ass 0 Dëst bedeit, datt de Fliger parallel zu der Prinzip Achs Ochs. An dësem Fall, Ännerungen der Form vun der Equatioun: Wu + CZ + D = 0.

Den Zerfall, d'Form vun Equatioun agefouert a gëtt mat dëse Konditiounen variéieren:

• Éischtens, wann B = 0, der Equatioun Ännerungen Axe + CZ + D = 0, wat de parallelism op d'Achs Mio weg géif.
• Zweetens, wann C = 0, der Equatioun an Axe + Vun + D = 0 transforméiert ginn ass, dat ass ongeféier parallel zu der Prinzip Achs Oz ze soen.
• Drëtt, wann D = 0, da schéngen der Equatioun als Axe + Vun + CZ = 0, déi menge géif, dass de Fliger schneid O (d'Origine).
• Véiert, wann A = B = 0, der Equatioun Ännerungen CZ + D = 0, wat Oxy zu parallelism wäert beweisen.
• Fënneften, wann B = C = 0, gëtt d'Equatioun Axe + D = 0, dat heescht, datt de Fliger ze Oyz ass parallel.
• Sixthly, wann A = C = 0, der Equatioun Form Wu + D hëlt = 0, i.e., gëtt un de parallelism Oxz Rapport.

Form vun der Equatioun zu Segmenter

Am Fall wou Zuelen A, B, C, D anescht aus null, d'Form vun Equatioun (0) kann wéi follegt:

x / engem + y / b + Z / c = 1,

soziokulturellem engem = -D / A, B = -D / B, C = -D / C.

Mir kréien als Resultat Equatioun vum Fliger am Stécker. Et soll feststellen, datt dëst Fliger wäert d'x-Achs um Punkt mat Koordinaten (eng, 0,0), Mio éis - (0, b, 0), an Oz - (0,0, s).

Kritt der Equatioun x / engem + y / b + Z / c = 1, et net schwéier ass den Openthalt Fliger relativ zu engem Prinzip koordinéieren System ze visualiséieren.

D'Koordinate vum normal Vecteure

Déi normal Vecteure n dem Fliger P huet Koordinaten datt de Ech vum allgemenge Equatioun vum Fliger sinn, i.e. n (A, B, C).

Fir d'Koordinaten vun der normal n ze bestëmmen, ass et genuch der allgemeng Equatioun entscheet Fliger ze wëssen.

Wann zu Segmenter der Equatioun benotzt, déi d'Form huet x / engem + y / b + Z / c = 1, wéi wann d'allgemeng Equatioun mat Koordinaten vun all normal Vecteure geschriwwe ginn kann soubal Fliger: (1 / engem + 1 / b + 1 / c).

Et soll feststellen, datt d'normal Vecteure vun hëllefen verschidde Problemer ze léisen. De stäerkste gemeinsam Problemer sinn aus am Beweis vertikal oder parallel Fligeren, d'Aufgab vun der Heffernan tëscht de Fligeren ze fannen oder d'Engelen tëscht de Fligeren a riichtaus Linnen.

Typ no de Fliger Equatioun an Koordinate vum Punkt normal Vecteure

A nonzero Vecteure n, vertikal zu enger bestëmmter Fliger, genannt normal (normal) zu engem Prinzip Fliger.

Spekuléiere gelooss, datt an der koordinéieren Raum (e véiereckege koordinéieren System) Oxyz Formatioun:

• Mₒ Punkt mat Koordinaten (hₒ, uₒ, zₒ);
• null Vecteure n = A * ech * B j + C * k +.

Dir musst Equatioun vum Fliger maachen dass vertikal zu der normal n duerch Mₒ Punkt Passë.

Am Raum wielen mir all arbiträr Punkt an Geleeënheet M (x, y, Z). Loosst de Radius Vecteure vun all Punkt M (x, y, Z) ginn r = x * ech + y * j + Z * k, an de Radius Vecteure vun engem Punkt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * ech + uₒ * j + zₒ * k. De Punkt M wäert zu enger bestëmmter Fliger gehéiert, wann de Vecteure MₒM op de Vecteure n vertikal ginn. Mir schreiwen den Zoustand vun orthogonality der scalar Produit benotzt:

[MₒM, n] = 0.

Zanter MₒM = r-rₒ, de Vecteure Equatioun vun de Fliger gëtt esou kucken:

[R - rₒ, n] = 0.

Dës Equatioun kann och eng aner Form hunn. Fir dëst Zil, d'Eegeschafte vun der scalar Produit, an ëmgerechent déi lénks Säit vun der Equatioun. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Wann [rₒ, n] wéi den mat, kréien mir déi folgend Equatioun: [r, n] - e = 0 oder [r, n] = s, wat de constancy vun der erméiglechen op der normal Vecteure vun der Radius-vectors vun der entscheet Punkten äussert, datt Fliger gehéieren.

Elo kënnt Dir de Typ Originalopnahm Fliger eis Vecteure Equatioun koordinéieren [r - rₒ, n] = 0 Zanter R-rₒ = (x-hₒ) * ech + (y-uₒ) * j + (Z-zₒ) * k, an n = A * ech * B j + C * k +, mir hunn:

Et stellt sech eraus, datt mer der Equatioun Fliger gemaach ass vertikal zu der normal n duerch de Punkt laanschtgoungen:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

Typ no de Fliger Equatioun a koordinéiert vun zwee Punkten vun der Vecteure Fliger collinear

Mir definéieren zwee arbiträr Punkten M "(x, y ', Z) an M" (x ", y", Z "), wéi och de Vecteure (e", eng ", engem ‴).

Elo kënne mir Equatioun Prinzip Fliger schreiwen déi déi bestehend Punkt M Eiffeltuerm "an M", an all Punkt mat de Koordinaten M (x, y, Z) parallel zu enger bestëmmter Vecteure.

Sou M'M vectors x = {x, y-y "; zz"} an M "M = {x" -x ", y 'y'; Z" -z "} soll mat der Vecteure coplanar ginn engem = (e ", eng", engem ‴), wat bedeit, datt (M'M M "M, a) = 0.

Esou eis Equatioun vun engem Fliger am Raum gëtt esou kucken:

Typ vu Fliger Equatioun agefouert, Kräizgang dräi Punkten

Loosst d'soen mir hunn dräi Punkten: (x, y ', Z "), (x, y', Z"), (x ‴ hunn ‴, Z ‴), déi fir déi selwecht Linn net do gehéieren. Et ass néideg Equatioun vum Fliger ze schreiwen duerch d'uginn dräi Punkten laanschtgoungen. Geometrie Theorie PSA datt dës Zort vu Fliger heescht existéieren, et ass just eent an nëmmen. Zanter dësem Fliger de Punkt schneid (x, y ', Z), géif seng Equatioun agefouert Form ginn:

Hei, A, B, C a gi verschidde vun null an der selwechter Zäit. Och entscheet Fliger schneid zwee méi Punkten (x ", y", Z ") an (x ‴, y ‴, Z ‴). An deem Zesummenhang soll dës Zort Konditiounen duerchgefouert ginn:

Elo kënne mir eng eenheetlech System schafen vun Equatioune (linear) mat has U, V, W:

An eisem Fall x, y oder Z steet arbiträr Punkt déi Equatioun hannereneen (1). Que Equatioun (1) an engem System vun Equatioune (2) an (3) de System vun Equatioune am Figur uewen uginn, déi de Vecteure hannereneen N (A, B, C) ass nontrivial. Et ass well de Projet vun de System null ass.

Equatioun (1) datt mir nach hunn, ass dëst d'Equatioun vum Fliger. 3 Punkt si geet wierklech, an et ass einfach ze kontrolléieren. Maachen dëst, ausbaue mer de Projet vun den Elementer an der éischter Zeil. Vun der bestehend Eegeschafte Projet folgendermoossen datt eise Fliger gläichzäiteg déi dräi ursprénglech Prinzip Punkt schneid (x, y ', Z "), (x", y ", Z"), (x ‴, y ‴, Z ‴). Sou decidéiert mir virun eis Aufgab.

Dihedral Wénkel tëscht der Fligeren

Dihedral Wénkel ass eng raimlech geometreschen Form sech duerch zwee Halschent-Fligeren, déi aus enger riichter Linn war awer. An anere Wierder, Deel vun der Plaz déi op der Broscht Fligeren limitéiert ass.

Ugeholl mir zwee Fliger mat der folgender Equatioune hunn:

Mir wëssen, datt de Vecteure N = (A, B, C) an N¹ = (A¹, H¹, S¹) no Prinzip Fligeren sinn vertikal. An dësem virleien, de Wénkel tëschent φ vectors N an N¹ selwechte Wénkel (dihedral), déi tëschent dëse Fligeren etabléiert ass. D'scalar Produit ass entscheet duerch:

NN¹ = | N || N¹ | Cos φ,

grad well

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) km² + (H¹) km² + (S¹) km²)).

Et ass genuch datt 0≤φ≤π zu betruecht.

Eigentlech zwee Fligeren dass éis, Form zwee Wénkel (dihedral): φ ₁ an φ _2. Hir Zomm ass gläich ze π (φ ₁ + φ ₂ = π). Wéi fir hir cosines sinn, hir absolute Wäerter selwecht, mä si verschidden Schëlder, dat ass, Cos φ ₁ = -cos φ _2. Wann an der Equatioun (0) vun A, B an C vun lount Iech, -B an -C bzw. ersat ass, der Equatioun, kréien mir, wäert déi selwecht Fliger bestëmmen, déi eenzeg Wénkel φ an Equatioun Cos φ = nn ¹ / | N || N ¹ | Et gëtt vun π-φ ersat ginn.

D'Equatioun vun der vertikal Fliger

Genannt vertikal Fliger, tëscht deem de Wénkel ass 90 Grad. Mat der Material uewen presentéiert, kënne mir d'Equatioun vun engem Fliger vertikal op déi aner fannen. Ugeholl hu mir zwee Fligeren: Axe + Vun + CZ + D = 0 a + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Mir kënne soen, dass se orthogonal sinn wann Cos = 0. Dat heescht, datt NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

D'Equatioun vun engem parallel Fliger

Et Éieren zwee parallel Fligeren déi kee Punkten gemeinsam enthalen.

D'Konditioun vun parallel Fligeren (hir Equatiounen déi selwecht wéi an der viregter Paragraph sinn) ass, datt d'vectors N an N¹, déi hinnen vertikal sinn, collinear. Dat heescht, dass déi folgend Konditiounen Proportionalitéit erfëllt sinn:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Wann der proportionaler Begrëffer ginn erweidert - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

dëst bedeit, datt d'Donnéeë Fliger vun der selwechter. Dat heescht, datt Equatioun Axe + Vun + CZ + D = 0 an + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 ee Fliger beschreiwen.

D'Distanz vum Punkt ze Fliger

Ugeholl mir e Fliger P hunn, déi duerch (0) ginn ass. Et ass néideg der Distanz vum Punkt mat Koordinaten (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ ze fannen. , Dir braucht der Equatioun am Fliger II normal krut fir eis et ze maachen:

(Ρ, V) = P (r≥0).

An dësem Fall, ρ (x, y, Z) ass de Radius Vecteure vun eisem Punkt Q, matzen op n p - n ass d'Längt vun der vertikal, déi aus der Nullpunkt verëffentlecht gouf, V - ass d'Eenheet Vecteure, déi an der Richtung engem arrangéiert ass.

D'Differenz ρ-ρº Radius Vecteure vun engem Punkt Q = (x, y, Z), gehéiert zu n an de Radius Vecteure vun engem bestëmmte Punkt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ass esou eng Vecteure, den absolute Wäert vun der Projektioun vun deem op V. fusionnéiert der Distanz d, déi néideg ass aus Q ze fannen = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) zu P:

D = | (ρ-ρ ^0, V) |, mä

(Ρ-ρ ^0, V) = (ρ, V ) - (ρ ^0, V) = P (ρ ^0, V).

Also et vläit,

d = | (ρ ^0, V) p |.

Elo ass et kloer dass d'Distanz d vun ₀ bis Q Fliger P ze berechnen, et ass néideg normal Vue Fliger Equatioun ze benotzen, déi dréint op der lénker Säit vun p, an déi lescht Plaz vun x, y, Z Auswiesselspiller (hₒ, uₒ, zₒ).

Sou, fanne mer der absolute Wäert vun der doraus Ausdrock, datt d néideg ass.

Mat de Parameteren vun Sprooch, kréien mir der net ze iwwersinn:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Wann der spezifizéierter Punkt Q ₀ op déi aner Säit vun der Fliger P den Urspronk ass, dann tëscht de Vecteure ρ-ρ ⁰ a V ass eng obtuse Wénkel, also:

d = - (ρ-ρ ^0, V) = (ρ ^0, V) -P> 0.

Am Fall, wou de Punkt Q ₀ a Verbindung mat der Origine op der selwechter Säit vun der U läit, ass d'erhéicht hunn, dat ass:

d = (ρ-ρ ^0, V) p = - (ρ ^0, V)> 0.

D'Resultat ass, datt an der fréierer Fall (ρ ^0, V)> p, an den zweeten (ρ ^0, V)

A seng tangent Fliger Equatioun

Betreffend de Fliger zu der Uewerfläch um Punkt vun tangency Mº - e Fliger all méiglech tangent zu der Linn duerch dat Punkt op der Uewerfläch Wolleken mat.

Mat dëser Uewerfläch Form vun der Equatioun F (x, y, Z) = 0 an der Equatioun vun der tangent Fliger tangent Punkt Mº (hº, uº, zº) wier:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Wann der Uewerfläch explizit Z = f (x, y) ageriicht ass, dann ass de tangent Fliger vun der Equatioun beschriwwen:

Z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Der Kräizung vun zwou Fligeren

An dräi-zweedimensional Raum ass eng koordinéieren System (véiereckege) Oxyz, kritt zwee Fligeren P "an P" dass iwwerlageren an do noutwennegerweis net. Well all Fliger, deen an engem véiereckege ass System vun den allgemenge Equatioun definéiert koordinéieren, beweis mer dass n 'an n "vun der Equatioune A'x + V'u S'z definéiert sinn + + D' = 0 an engem" + B x "+ y mat "Z + D" = 0. An dësem Fall hunn mir normal n '(A, B, C') vun de Fliger P "an der normal n" (E "B", C ") vun der Fliger P". Wéi eise Fliger sin net parallel an net noutwennegerweis, da sinn dës vectors net collinear. Mat der Sprooch vun Mathematik, hu mir dës Konditioun esou geschriwwe ginn: n '≠ n "↔ (A, B, C') ≠ (λ * An", λ * Am ", λ * C"), λεR. Loosst déi direkt Linn déi op der Kräizung P läit "∩ P an P, gëtt vun der Bréif eng, an dësem Fall eng = P mat gin".

an - eng Zeil aus engem vun Majorzsystem Punkten (gemeinsam) Fligeren P "an P". Dat heescht, datt d'Koordinate vun all Punkt un der Linn e gehéiert, gläichzäiteg der Equatioun A'x + V'u S'z zefridden muss + + D '= 0 an engem "x + B" + C y "Z + D" = 0. Dat heescht, datt d'Koordinate vum Punkt gëtt eng bestëmmte Léisung vun de folgenden Equatioune ginn:

D'Resultat ass, datt d'Léisung (allgemeng) vun dësem System vun Equatioune wäert d'Koordinaten vun jidderengen vun Punkten op der Linn bestëmmen déi als Punkt vun Kräizung P Akt gëtt "an P", an enger Linn an engem Oxyz (véiereckege) Plaz koordinéieren System bestëmmen.